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\newcommand{\Name}{Arne Keller} % Teamname oder eigenen Namen angeben
\newcommand{\TeilnahmeId}{50966}
\newcommand{\Aufgabe}{Aufgabe 1: Lisa rennt}

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% Daten für die Titelseite
\title{\Aufgabe}
\author{\Name\\Teilnahme-ID: \TeilnahmeId}
\date{29. April 2019}


\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\section{Lösungsidee}
Zunächst kann man feststellen, dass der letzte Abschnitt jeder Route zum Bus immer exakt gerade ist. In einer Kurve würde Lisa weiter laufen, ohne am Ende auf der y-Achse weiter zu sein. Es gibt keinen, einen oder zwei Treffpunkte, bei denen Lisa (ohne zu warten) den Bus erwischt:

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{subfigure}{.33\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\tkzInit[xmax=3.5,ymax=7.5]
		\tkzAxeXY
		\tkzGrid
		\tkzDefPoint(0,0){B}
		\tkzDefPoint(1.25,3.5){L}
		\tkzDefPoint(0,2.83333){M1}
		\tkzDefPoint(0,6.5){M2}

		\tkzDrawSegment(L,M1)
		\tkzDrawSegment(L,M2)
		\tkzDrawPoints(B,L,M1,M2)

		\tkzLabelPoints(B,L,M1,M2)
	\end{tikzpicture}
	\caption{Zwei Treffpunkte}
	\label{abb:fall1}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{.33\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\tkzInit[xmax=3.5,ymax=7.5]
		\tkzAxeXY
		\tkzGrid
		\tkzDefPoint(0,0){B}
		\tkzDefPoint(2.020725942,3.5){L}
		\tkzDefPoint(0,4.614){M}

		\tkzDrawSegment(L,M)
		\tkzDrawPoints(B,L,M)

		\tkzLabelPoints[yshift=14pt](M)
		\tkzLabelPoints(B,L)
	\end{tikzpicture}
	\caption{Ein Treffpunkt}
	\label{abb:fall1}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{.33\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\tkzInit[xmax=3.5,ymax=7.5]
		\tkzAxeXY
		\tkzGrid
		\tkzDefPoint(0,0){B}
		\tkzDefPoint(3,3.5){L}

		\tkzDrawPoints(B,L)

		\tkzLabelPoints(B,L)
	\end{tikzpicture}
	\caption{Kein Treffpunkt}
	\label{abb:fall1}
\end{subfigure}
\caption{Mögliche Treffpunktanzahlen}
\label{fig:treffpunkte}
\end{figure}

\begin{proof}
	Sei Lisa bei $L(x_{L},y_{L})$ und der Bus bei $B(x_{B},y_{B})$. $M(x_{M},y_{M})$ sei der Treffpunkt von Lisa mit dem Bus. $d$ sei der Weg, den Lisa zu diesem Punkt geht.
	\begin{align*}
		d &= \sqrt{(x_{L}-x_{M})^2 + (y_{L}-y_{M})^2} &&\text{(Satz des Pythagoras)} \\
		&= \sqrt{x_{L}^2 + (y_{L}-y_{M})^2} &&\text{($x_{B} = x_{M} = 0$)} \\
		d^2 &= x_{L}^2 + (y_{L}-y_{M})^2 \\
		&= x_{L}^2 + (y_{L}-y_{B}-2d)^2 &&\text{($y_{M} = y_{B} + 2d$)} \\
		&= x_{L}^2 + y_{L}^2 + y_{B}^2 + 4d^2 - 2y_{B}y_{M} - 4dy_{L} + 4dy_{B} \\
		-3d^2 + 4\cdot(y_{B}-y_{L})\cdot{}d &= x_{L}^2 + y_{L}^2 + y_{B}^2 - 2y_{B}y_{M} \\
		d &= \frac{a\pm\sqrt{a^2 + 12\cdot{}(-x_{L}^2 - y_{L}^2 - y_{B}^2 + 2y_{B}y_{M})}}{-6} &&\text{($a = 4\cdot(y_{B}-y_{L})$)}\qedhere
	\end{align*}
\end{proof}

Für diese Gleichung gibt es maximal zwei nicht-negative Lösungen.

\section{Umsetzung}

\section{Beispiele}

\section{Quellcode}
\lstinputlisting[frame=single,language=Rust,breaklines=true]{src/main.rs}

\end{document}
