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% Daten für die Titelseite
\title{\Aufgabe}
\author{\Name\\Teilnahme-ID: \TeilnahmeId}
\date{29. April 2019}


\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\section{Lösungsidee}
Zunächst kann man feststellen, dass der letzte Abschnitt jeder Route zum Bus immer exakt gerade ist. In einer Kurve würde Lisa weiter laufen, ohne am Ende auf der y-Achse weiter zu sein. Es gibt keinen, einen oder zwei Treffpunkte, bei denen Lisa (ohne zu warten) den Bus erwischt:

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{subfigure}{.33\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\tkzInit[xmax=3.5,ymax=7.5]
		\tkzAxeXY
		\tkzGrid
		\tkzDefPoint(0,0){B}
		\tkzDefPoint(1.25,3.5){L}
		\tkzDefPoint(0,2.83333){M1}
		\tkzDefPoint(0,6.5){M2}

		\tkzDrawSegment(L,M1)
		\tkzDrawSegment(L,M2)
		\tkzDrawPoints(B,L,M1,M2)

		\tkzLabelPoints(B,L,M1,M2)
	\end{tikzpicture}
	\caption{Zwei Treffpunkte}
	\label{abb:fall1}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{.33\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\tkzInit[xmax=3.5,ymax=7.5]
		\tkzAxeXY
		\tkzGrid
		\tkzDefPoint(0,0){B}
		\tkzDefPoint(2.020725942,3.5){L}
		\tkzDefPoint(0,4.614){M}

		\tkzDrawSegment(L,M)
		\tkzDrawPoints(B,L,M)

		\tkzLabelPoints[yshift=14pt](M)
		\tkzLabelPoints(B,L)
	\end{tikzpicture}
	\caption{Ein Treffpunkt}
	\label{abb:fall2}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{.33\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\tkzInit[xmax=3.5,ymax=7.5]
		\tkzAxeXY
		\tkzGrid
		\tkzDefPoint(0,0){B}
		\tkzDefPoint(3,3.5){L}

		\tkzDrawPoints(B,L)

		\tkzLabelPoints(B,L)
	\end{tikzpicture}
	\caption{Kein Treffpunkt}
	\label{abb:fall3}
\end{subfigure}
\caption{Mögliche Treffpunktanzahlen}
\label{fig:treffpunkte}
\end{figure}

\begin{proof}
	Sei Lisa bei $L(x_{L},y_{L})$ und der Bus bei $B(x_{B},y_{B})$. $M(x_{M},y_{M})$ sei der Treffpunkt von Lisa mit dem Bus. $d$ sei der Weg, den Lisa zu diesem Punkt geht.
	\begin{align*}
		d &= \sqrt{(x_{L}-x_{M})^2 + (y_{L}-y_{M})^2} &&\text{(Satz des Pythagoras)} \\
		&= \sqrt{x_{L}^2 + (y_{L}-y_{M})^2} &&\text{($x_{B} = x_{M} = 0$)} \\
		d^2 &= x_{L}^2 + (y_{L}-y_{M})^2 \\
		&= x_{L}^2 + (y_{L}-y_{B}-2d)^2 &&\text{($y_{M} = y_{B} + 2d$)} \\
		&= x_{L}^2 + y_{L}^2 + y_{B}^2 + 4d^2 - 2y_{B}y_{L} - 4dy_{L} + 4dy_{B} \\
		-3d^2 + 4\cdot(y_{L}-y_{B})\cdot{}d &= x_{L}^2 + y_{L}^2 + y_{B}^2 - 2y_{B}y_{L} \\
		d &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2 + 12\cdot{}(-x_{L}^2 - y_{L}^2 - y_{B}^2 + 2y_{B}y_{L})}}{-6} &&\text{($b = 4\cdot(y_{L}-y_{B})$)}
	\end{align*}
	Für diese Gleichung gibt es maximal zwei nicht-negative Lösungen.\qedhere
\end{proof}

Um den letzten Zeitpunkt, bei dem sie den Bus gerade noch erwischt, zu bestimmen, kann man die Wurzel in der letzen Gleichung gleich Null setzen. Wenn man nach $y_{B}$ auflöst, erhält man die Position des Busses, bei dessen Durchquerung Lisa anfangen sollte zu laufen. So kann man für jeden Startpunkt berechnen, wann Lisa spätestens von dort loslaufen müsste.

Außerdem wird Lisa auf einer optimalen Route vor dem letzten Abschnitt immer von einer Polygonecke zur nächsten gehen. Andernfalls würde sie in Kurven um jene Ecken wertvolle Zeit verschwenden. Der letzte Abschnitt ihrer Route trifft die y-Achse immer in einem 60\degree-Winkel ($cos(60\degree) = \frac{1}{2}$):

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{subfigure}{.33\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\tkzInit[xmax=3.5,ymax=7.5]
		\tkzAxeXY
		\tkzGrid
		\tkzDefPoint(0,0.3){B}
		\tkzDefPoint(2,4){L}
		\tkzDefPoint(0,4.36667){M}

		\tkzDrawSegment(L,M)
		\tkzDrawSegment(B,M)
		\tkzDrawPoints(B,L,M)
		\tkzMarkAngle[fill=orange,size=0.8cm,opacity=.4](B,M,L)
		\tkzLabelAngle[pos=0.5](B,M,L){$\alpha$}

		\tkzLabelPoints[yshift=14pt](M)
		\tkzLabelPoints(B,L)
	\end{tikzpicture}
	\caption{$\alpha > 60\degree$}
	\label{abb:winkel1}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{.33\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\tkzInit[xmax=3.5,ymax=7.5]
		\tkzAxeXY
		\tkzGrid
		\tkzDefPoint(0,0.5359){B}
		\tkzDefPoint(2,4){L}
		\tkzDefPoint(0,5.155){M}

		\tkzDrawTriangle[school](B,L)
		\tkzDrawSegment(L,M)
		\tkzDrawPoints(B,L,M)
		\tkzMarkAngle[fill=orange,size=0.8cm,opacity=.4](B,M,L)
		\tkzLabelAngle[pos=0.5](B,M,L){$\alpha$}
		\tkzMarkRightAngle(M,L,B)

		\tkzLabelPoints[yshift=14pt](M)
		\tkzLabelPoints(B,L)
	\end{tikzpicture}
	\caption{$\alpha = 60\degree$}
	\label{abb:winkel2}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{.33\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}
		\tkzInit[xmax=3.5,ymax=7.5]
		\tkzAxeXY
		\tkzGrid
		\tkzDefPoint(0,0.3){B}
		\tkzDefPoint(2,4){L}
		\tkzDefPoint(0,6.1){M}

		\tkzDrawSegment(L,M)
		\tkzDrawSegment(B,M)
		\tkzDrawPoints(B,L,M)
		\tkzMarkAngle[fill=orange,size=0.8cm,opacity=.4](B,M,L)
		\tkzLabelAngle[pos=0.5](B,M,L){$\alpha$}

		\tkzLabelPoints[yshift=14pt](M)
		\tkzLabelPoints(B,L)
	\end{tikzpicture}
	\caption{$\alpha < 60\degree$}
	\label{abb:winkel3}
\end{subfigure}
\caption{Mögliche Winkel}
\label{fig:winkel}
\end{figure}

\section{Umsetzung}
Das Programm durchsucht in einer Breitensuche alle Wege, die über Polygonecken führen. Priorisiert werden jene Wege, bei denen Lisa theoretisch am längsten warten könnte. Um die Wege abzuschließen, probiert das Programm verschiedene Treffpunkte mit dem Bus durch (je einen pro Meter y-Achse). Derjenige, bei dem Lisa sich am meisten Zeit lassen kann, wird gespeichert, falls nicht schon eine bessere Lösung gefunden wurde.

\section{Beispiele}

\section{Quellcode}
\lstinputlisting[frame=single,language=Rust,breaklines=true]{src/main.rs}

\end{document}